bagi murid2/mahasiswa/guru2 matematika, kadang kita sering menemukan soal trigonometri seperti ini :
berapakah nilai dari :
a. sin54.sin18 !
b. sin54-sin18 !
c. sin54+sin18 !
(maaf tanda derajatnya tak ditulis, tp mksd'y pke derajat)
ketika melihat soal ini, ada yang raut wajahnya agak di tekuk ke dalam (sambil rd manyun) ada pula yg sdikit tersenyum (gk tau krn gampang atau pura2. hee...)
pasti hal pertama yg terpikir adalah mengubah bentuk operasi kedalam nilai trigonometri sudut istimewa dan berharap ada nilai yang saling menghabiskan. itu pula yang sy lakukan dan alhamdulillah selama 2 malam tak kunjung dapat hasilnya. tapi dengan sedikit sentuhan, maka hasilnya akan didapatkan. kbanyakan ada yg udah tau isinya, yaitu 1/2 atau 1/4 tapi tak tau caranya.
Oke, sy akan coba pecahkan penyelesaian dari soal ini. tapi sblumnya sy akan mengganti tanda pangkat jd seperti ini :''=pangkat2, '''=pangkat3, ''''=pangkat 4, dst.
sin54=cos36 (tau kan knp jd sperti ini)
3sin18-4sin'''18=1-2sin''18 (pake rumus sudut rangkap)
4sin'''18-2sin''18-3sin18+1=0
(sy tulis -2sin''18 = -4sin''18+2sin''18, boleh kan???)
jadi,
4sin'''18-4sin''18+2sin''18-3sin18+1=0
lalu faktorkan. hasilnya :
4sin''18 (sin18-1)+(2sin18-1)(sin18-1)=0
faktorkan lagi dg (sin18-1) sbg faktornya
(sin18-1)(4sin''18+2sin18-1)=0
nah, sekarang kita dapat 2 faktor
sin18-1=0
maka sin18=1 (tidak memenuhi)
lalu, 4sin''18+2sin18-1=0
ini tak dapat difaktorkan, maka dari itu kita gunakan rumus kuadratis (rumus abc). setelah dihitung, hasilnya :
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau -1/4-1/4 (akar5)
dan yg diambil adalah -1/4+1/4 (akar5) krn yg satunya lagi bernilai negatit jd tak memenuhi (nilai sin di kuadran 1 positif).
kita udah dapet nilai sin18=-1/4+1/4 (akar5)
tinggal nyari nilai sin54 dg cara :
sin54=cos36
=1-2sin''18
=1-2[-1/4+1/4 (Akar5)]''
=1-2[1/16-1/8 (akar5)+5/16]
=1-2[6/16-1/8 (akar5)]
=1-2[3/8-1/8 (akar5)]
=1-3/4+1/4 (akar5)
sin54=1/4+1/4 (akar5)
nah, sekarang kita sudah mendapatkan nilai
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)-1/4
sin54=1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)+1/4
maka :
sin54.sin18=[1/4 (akar5)+1/4][1/4 (akar5)-1/4]
ini merupakan bentuk perkalian selisih dua kuadrat
(a-b)(a+b)=a''-b''
jadi,
sin54.sin18=[1/4 (akar5)]''-[1/4]''
=5/16-1/16
=4/16
=1/4
sin54-sin18=[1/4 (akar5)+1/4]-[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 -1/4 (akar5)+1/4
=1/4+1/4
=1/2
sin54+sin18=[1/4 (akar5)+1/4]+[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 +1/4 (akar5)-1/4
=1/4 (akar5)+1/4 (akar5)
=1/2 (akar5)
haha...gampang kan???
ternyata sin18 dan sin54 juga bisa disebut nilai trigonometri sudut ''istimewa''. hehehh....
OK....Maybe just it...
smoga bermanfaat.
Slamat mencoba and Good Luck !!!
Jumat, 25 Maret 2011
Cara mudah belajar Trigonometri
Seorang teman mengeluh kepada saya tentang betapa sulitnya trigonometri...padahal menurut saya materi ini sangatlah 'mengasyikan'. kebetulan pada waktu itu ia mengalami kesulitan dalam mengubah nilai trigonometri sudut istimewa di berbagai kuadran. kalau dihitung-hitung ada sekitar 48 RUMUS yang harus dihafalkan. wah,,,banyak juga ya, saya pun tak sanggup untuk menghafalkan rumus sebanyak itu. tapi dalam setiap masalah selalu ada 2 kemudahan yang mengapitnya.
balik lagi ke trigonometri
misal ada contoh seperti ini : sin (270'+A) (A maksudnya alpha dan ' adlh derajat). kalau liat rumus maka akan sama dengan (-cos A). Lho ko bisa??? ya bisa lah karena ini bisa dijelaskan lewat diagram cartesius, cukup pusing memang untuk memahaminya kalau melalui gambar diagram cartesius. trus misal ada lagi soal : sec (360-A)=??? maka dengan sangat mudah sy jwb cosec A. haha...ternyata ada sesuatu yg unik dari ke 48 rumus itu..
oke...sy mau berbagi tips gimana caranya memahami (bkn menghafal) rumus trigonometri sudut berbagai kuadran.
PERTAMA
Ingat...Dalam diagram cartesius terbagi menjadi 4 kuadran (kw). kuadran 1 terletak di kanan atas (X dan Y positif), kuadran 2 terletak di kiri atas (X negatif, Y positif), kuadran 3 terletak di kiri bwh (X dan Y negatif), kuadran 4 terletak di kanan bwh (X positif, Y negatif).
nah, nilai trigonometri di tiap kuadran itu berbeda-beda (positif atau negatifnya). di kuadran 1, semua nilai trigonometri adalah positif (+). di kuadran 2, HANYA sinus (sin) dan kebalikannya (cosecan) yang bernilai positif, yg lainnya negatif. di kw 3 HANYA tangen (tan) dan cotangen (cot) yg bernilai positif. dan di kw 4, hanya cosinus (cos) dan secan (sec) yg bernilai positif. biar gampang inget, dalam bahasa "Jerman" ada kata ASINTOS yg artinya postif. A=All positif (kw 1), SIN=SIN (kw2), T=Tan (kw 3), OS=cOS (kw 4).
KEDUA
jika ada soal seperti ini : sin (90'+A) atau tan (270'+A) (perhatikan angka 90 dan 270 nya). maka nilai trigonometrinya berubah, yang tadinya sin berubah jd cos (bgitu jg sbaliknya), yg tadinya tan menjdi cot (bgitu jg sbaliknya), dan yg tdinya cosec mnjdi sec (bgitu jg sbaliknya).
lalu, kalo ada soal seperti ini : sin (180'+A) atau tan (360'+A) (perhatikan angka 180 dan 360 nya). maka nilai trigonometrinya TETAP.
KETIGA
Tiap kuadran punya batas sudut 90'. kalo lebih sdikit saja berarti sudah masuk ke kuadran lain. misal ada soal sperti ini : cos (180'+A), maka sudutx ada di kw 3, kalo cos (180' - A) brarti sdutnya ada di kw 2.<90 br="">
KEEMPAT
kalo sudah memahami langkah 1,2,3 sy jamin apapun soalnya pasti bisa di jawab.
contoh :
nilai cos (270'+A)=.....
sy bantu...pertama, karena (270'+A) berarti ada di kw 4, sdangkan nilai cos di kw 4 adalah POSITIF (ingat ASINTOS). lalu ada angka (270'+A) artinya cos berubh jd sin. maka nilai cos (270'+A)=+sin A (cukup ditulils sin A saja).
lagi... nilai tan (360'-A)=....
jwb : itu ada di kw 4, tan di kw 4 negatif, angka (360'-A) berarti tetap tan. jd jwbannya -tan A. hahaha...mudah bukan??? mudah atau tidak tergantung dari banyaknya kita mengerjakan latihan soal.
ada 3 soal d bwh ini...
1. Cot (180'+A)=....
2. sin (270'-A)=....
3. cos (90'+A)=....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kalau sdh dijwb dan jawabanx sperti ini :
1. cot A
2. -cos A
3. -sin A
maka anda sudah maju beberapa langkah untuk menaklukkan soal trigonometri.
Selamat mencoba.....
NB : rumus bukan untk dihafal tapi untuk dipahami, sbg cntoh dri dulu-skr hanya ada angka 0-9, swaktu kecil kita hanya tau bilangan dr 1-10. sekarang, apakah anda bisa mengatakan berapa bilangan ini : 42.571 ?
bisa kan??? pdhal kita tidak menghafalkan angka sampai sebanyak itu, tapi dg memahaminya kita bs menyebutkan nilai suatu bilangan berapa pun digitnya.
Perkataan Matematikawan yg bernama ADHENT SMITH : "Matematika itu bukan untuk DITAKUTI tapi untuk DITAKLUKKAN"
balik lagi ke trigonometri
misal ada contoh seperti ini : sin (270'+A) (A maksudnya alpha dan ' adlh derajat). kalau liat rumus maka akan sama dengan (-cos A). Lho ko bisa??? ya bisa lah karena ini bisa dijelaskan lewat diagram cartesius, cukup pusing memang untuk memahaminya kalau melalui gambar diagram cartesius. trus misal ada lagi soal : sec (360-A)=??? maka dengan sangat mudah sy jwb cosec A. haha...ternyata ada sesuatu yg unik dari ke 48 rumus itu..
oke...sy mau berbagi tips gimana caranya memahami (bkn menghafal) rumus trigonometri sudut berbagai kuadran.
PERTAMA
Ingat...Dalam diagram cartesius terbagi menjadi 4 kuadran (kw). kuadran 1 terletak di kanan atas (X dan Y positif), kuadran 2 terletak di kiri atas (X negatif, Y positif), kuadran 3 terletak di kiri bwh (X dan Y negatif), kuadran 4 terletak di kanan bwh (X positif, Y negatif).
nah, nilai trigonometri di tiap kuadran itu berbeda-beda (positif atau negatifnya). di kuadran 1, semua nilai trigonometri adalah positif (+). di kuadran 2, HANYA sinus (sin) dan kebalikannya (cosecan) yang bernilai positif, yg lainnya negatif. di kw 3 HANYA tangen (tan) dan cotangen (cot) yg bernilai positif. dan di kw 4, hanya cosinus (cos) dan secan (sec) yg bernilai positif. biar gampang inget, dalam bahasa "Jerman" ada kata ASINTOS yg artinya postif. A=All positif (kw 1), SIN=SIN (kw2), T=Tan (kw 3), OS=cOS (kw 4).
KEDUA
jika ada soal seperti ini : sin (90'+A) atau tan (270'+A) (perhatikan angka 90 dan 270 nya). maka nilai trigonometrinya berubah, yang tadinya sin berubah jd cos (bgitu jg sbaliknya), yg tadinya tan menjdi cot (bgitu jg sbaliknya), dan yg tdinya cosec mnjdi sec (bgitu jg sbaliknya).
lalu, kalo ada soal seperti ini : sin (180'+A) atau tan (360'+A) (perhatikan angka 180 dan 360 nya). maka nilai trigonometrinya TETAP.
KETIGA
Tiap kuadran punya batas sudut 90'. kalo lebih sdikit saja berarti sudah masuk ke kuadran lain. misal ada soal sperti ini : cos (180'+A), maka sudutx ada di kw 3, kalo cos (180' - A) brarti sdutnya ada di kw 2.<90 br="">
KEEMPAT
kalo sudah memahami langkah 1,2,3 sy jamin apapun soalnya pasti bisa di jawab.
contoh :
nilai cos (270'+A)=.....
sy bantu...pertama, karena (270'+A) berarti ada di kw 4, sdangkan nilai cos di kw 4 adalah POSITIF (ingat ASINTOS). lalu ada angka (270'+A) artinya cos berubh jd sin. maka nilai cos (270'+A)=+sin A (cukup ditulils sin A saja).
lagi... nilai tan (360'-A)=....
jwb : itu ada di kw 4, tan di kw 4 negatif, angka (360'-A) berarti tetap tan. jd jwbannya -tan A. hahaha...mudah bukan??? mudah atau tidak tergantung dari banyaknya kita mengerjakan latihan soal.
ada 3 soal d bwh ini...
1. Cot (180'+A)=....
2. sin (270'-A)=....
3. cos (90'+A)=....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kalau sdh dijwb dan jawabanx sperti ini :
1. cot A
2. -cos A
3. -sin A
maka anda sudah maju beberapa langkah untuk menaklukkan soal trigonometri.
Selamat mencoba.....
NB : rumus bukan untk dihafal tapi untuk dipahami, sbg cntoh dri dulu-skr hanya ada angka 0-9, swaktu kecil kita hanya tau bilangan dr 1-10. sekarang, apakah anda bisa mengatakan berapa bilangan ini : 42.571 ?
bisa kan??? pdhal kita tidak menghafalkan angka sampai sebanyak itu, tapi dg memahaminya kita bs menyebutkan nilai suatu bilangan berapa pun digitnya.
Perkataan Matematikawan yg bernama ADHENT SMITH : "Matematika itu bukan untuk DITAKUTI tapi untuk DITAKLUKKAN"
Pengelompokkan Angka-angka
Buat yang masih bingung tentang pengelompokkan angka (kecuali joe sandy), ada sedikit yg sy ketahui tentang pengelompokan angka, mudah2an bisa membantu.
Semua bilangan yang ada terbagi menjadi 2 bilangan
1. Bilangan Real (simbol 'R')
yaitu himpunan semua bilangan selain akar negatif, krn pada dasarnya akar negatif itu tak mungkin kecuali akar pangkat ganjil negatif. misal, akar dari -2, berarti kita harus mencari bilangan yg jika di kuadratkan hasilnya -2, dan itu tak mungkin krn sluruh bilangan jika di kuadratkan hasilnya pasti positif.
2. Bilangan Imaginer
yaitu termasuk bilangan negatif yg ada d dalam akar. biasanya disimbolkan dengan 'i'=akar negatif 1, jd kalau akar dari -2 = 2i, dst
bilangan imajiner tak terbagi lagi, tapi bilangan real terbagi lagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irrasional
1. Bilangan rasional
yaitu bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk pecahan, misal 5 bisa d ubah menjadi 5/1, lalu 0,5 bisa d ubah menjadi 1/2. adapun untuk bilangan akar, kalau yg bisa d akarkan itu termasuk bilangan rasional, misal akar 4, akar 9, akar 16, akar 0,16 dst. untuk bilangan desimal, kalau angka d belakang koma nya terbatas, itu termasuk bilangan rasional, misal : 0,625 = 625/1000 = 5/8. kalau pun angka2nya tidak terbatas tetapi haruslah berulang-ulang. misalnya : 3,3333.....=10/3 atau 54,5454545454......=5400/99=600/11, dsb.
2. Bilangan irrasional
kebalikan dr bil rasional yaitu bilangan yg tak bisa d ubah ke bentuk pecahan. kebanyakan contohnya adalah bilangan yg bukan bentuk akar. misalnya akar 2, akar 3, akar 5, akar 6, akar 7, dst. selain itu pendekatan nilai phi = 3,1416.... juga merupakan bil irrasional, adapun phi=22/7 hanyalah pendekatan saja.
seperti bil real, bilangan rasional terbagi menjadi beberapa bentuk bilangan, yaitu :
1. Bilangan Bulat
yaitu bilangan yang memiliki angka 0 di belakang koma. banyak contohnya.
2. Bilangan pecahan
bilangan yg dipisah dengan tanda ''/'' atau bil desimal yg tak bulat.
bilangan bulat terbagi lagi menjadi
1. bil bulat negatif
2. Nol
3. bil bulat positif
bil bulat positif sering disebut juga dengan bilangan asli
sedangkan kalau bilangan bulat positif digabung dengan nol, disebut bilangan cacah
Bilangan asli dikelompokkan lagi menjadi
1. bilangan prima
yaitu bilangan yg memiliki 2 faktor pembagian, yaitu 1 dan dirinya sendiri. anggotanya :2,3,5,7,11,13, dst.
2. bilangan komposit
yakni bilangan asli selain 1 yg bkn elemen bil prima, yaitu ,4,6,8,9,dst.
smoga bermanfaat.
Semua bilangan yang ada terbagi menjadi 2 bilangan
1. Bilangan Real (simbol 'R')
yaitu himpunan semua bilangan selain akar negatif, krn pada dasarnya akar negatif itu tak mungkin kecuali akar pangkat ganjil negatif. misal, akar dari -2, berarti kita harus mencari bilangan yg jika di kuadratkan hasilnya -2, dan itu tak mungkin krn sluruh bilangan jika di kuadratkan hasilnya pasti positif.
2. Bilangan Imaginer
yaitu termasuk bilangan negatif yg ada d dalam akar. biasanya disimbolkan dengan 'i'=akar negatif 1, jd kalau akar dari -2 = 2i, dst
bilangan imajiner tak terbagi lagi, tapi bilangan real terbagi lagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irrasional
1. Bilangan rasional
yaitu bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk pecahan, misal 5 bisa d ubah menjadi 5/1, lalu 0,5 bisa d ubah menjadi 1/2. adapun untuk bilangan akar, kalau yg bisa d akarkan itu termasuk bilangan rasional, misal akar 4, akar 9, akar 16, akar 0,16 dst. untuk bilangan desimal, kalau angka d belakang koma nya terbatas, itu termasuk bilangan rasional, misal : 0,625 = 625/1000 = 5/8. kalau pun angka2nya tidak terbatas tetapi haruslah berulang-ulang. misalnya : 3,3333.....=10/3 atau 54,5454545454......=5400/99=600/11, dsb.
2. Bilangan irrasional
kebalikan dr bil rasional yaitu bilangan yg tak bisa d ubah ke bentuk pecahan. kebanyakan contohnya adalah bilangan yg bukan bentuk akar. misalnya akar 2, akar 3, akar 5, akar 6, akar 7, dst. selain itu pendekatan nilai phi = 3,1416.... juga merupakan bil irrasional, adapun phi=22/7 hanyalah pendekatan saja.
seperti bil real, bilangan rasional terbagi menjadi beberapa bentuk bilangan, yaitu :
1. Bilangan Bulat
yaitu bilangan yang memiliki angka 0 di belakang koma. banyak contohnya.
2. Bilangan pecahan
bilangan yg dipisah dengan tanda ''/'' atau bil desimal yg tak bulat.
bilangan bulat terbagi lagi menjadi
1. bil bulat negatif
2. Nol
3. bil bulat positif
bil bulat positif sering disebut juga dengan bilangan asli
sedangkan kalau bilangan bulat positif digabung dengan nol, disebut bilangan cacah
Bilangan asli dikelompokkan lagi menjadi
1. bilangan prima
yaitu bilangan yg memiliki 2 faktor pembagian, yaitu 1 dan dirinya sendiri. anggotanya :2,3,5,7,11,13, dst.
2. bilangan komposit
yakni bilangan asli selain 1 yg bkn elemen bil prima, yaitu ,4,6,8,9,dst.
smoga bermanfaat.
Langganan:
Postingan (Atom)