Penyelesaian nilai sin 54.sin18, sin 54-sin18 dan sin 54+sin 18

bagi murid2/mahasiswa/guru2 matematika, kadang kita sering menemukan soal trigonometri seperti ini :
berapakah nilai dari :
a. sin54.sin18 !
b. sin54-sin18 !
c. sin54+sin18 !
(maaf tanda derajatnya tak ditulis, tp mksd'y pke derajat)

ketika melihat soal ini, ada yang raut wajahnya agak di tekuk ke dalam (sambil rd manyun) ada pula yg sdikit tersenyum (gk tau krn gampang atau pura2. hee...)
pasti hal pertama yg terpikir adalah mengubah bentuk operasi kedalam nilai trigonometri sudut istimewa dan berharap ada nilai yang saling menghabiskan. itu pula yang sy lakukan dan alhamdulillah selama 2 malam tak kunjung dapat hasilnya. tapi dengan sedikit sentuhan, maka hasilnya akan didapatkan. kbanyakan ada yg udah tau isinya, yaitu 1/2 atau 1/4 tapi tak tau caranya.

Oke, sy akan coba pecahkan penyelesaian dari soal ini. tapi sblumnya sy akan mengganti tanda pangkat jd seperti ini :''=pangkat2, '''=pangkat3, ''''=pangkat 4, dst.

sin54=cos36 (tau kan knp jd sperti ini)
3sin18-4sin'''18=1-2sin''18 (pake rumus sudut rangkap)
4sin'''18-2sin''18-3sin18+1=0
(sy tulis -2sin''18 = -4sin''18+2sin''18, boleh kan???)
jadi,
4sin'''18-4sin''18+2sin''18-3sin18+1=0
lalu faktorkan. hasilnya :
4sin''18 (sin18-1)+(2sin18-1)(sin18-1)=0
faktorkan lagi dg (sin18-1) sbg faktornya
(sin18-1)(4sin''18+2sin18-1)=0

nah, sekarang kita dapat 2 faktor
sin18-1=0
maka sin18=1 (tidak memenuhi)
lalu, 4sin''18+2sin18-1=0
ini tak dapat difaktorkan, maka dari itu kita gunakan rumus kuadratis (rumus abc). setelah dihitung, hasilnya :
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau -1/4-1/4 (akar5)
dan yg diambil adalah -1/4+1/4 (akar5) krn yg satunya lagi bernilai negatit jd tak memenuhi (nilai sin di kuadran 1 positif).

kita udah dapet nilai sin18=-1/4+1/4 (akar5)
tinggal nyari nilai sin54 dg cara :
sin54=cos36
=1-2sin''18
=1-2[-1/4+1/4 (Akar5)]''
=1-2[1/16-1/8 (akar5)+5/16]
=1-2[6/16-1/8 (akar5)]
=1-2[3/8-1/8 (akar5)]
=1-3/4+1/4 (akar5)
sin54=1/4+1/4 (akar5)

nah, sekarang kita sudah mendapatkan nilai
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)-1/4
sin54=1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)+1/4

maka :
sin54.sin18=[1/4 (akar5)+1/4][1/4 (akar5)-1/4]
ini merupakan bentuk perkalian selisih dua kuadrat
(a-b)(a+b)=a''-b''
jadi,
sin54.sin18=[1/4 (akar5)]''-[1/4]''
=5/16-1/16
=4/16
=1/4

sin54-sin18=[1/4 (akar5)+1/4]-[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 -1/4 (akar5)+1/4
=1/4+1/4
=1/2

sin54+sin18=[1/4 (akar5)+1/4]+[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 +1/4 (akar5)-1/4
=1/4 (akar5)+1/4 (akar5)
=1/2 (akar5)

haha...gampang kan???
ternyata sin18 dan sin54 juga bisa disebut nilai trigonometri sudut ''istimewa''. hehehh....

OK....Maybe just it...
smoga bermanfaat.
Slamat mencoba and Good Luck !!!