Rabu, 14 Maret 2012
Teknik Cepat Menentukan Persamaan Garis
Masih ingat materi persamaan garis?
kalo gk salah materi ini diperkenalkan pas kelas 8 SMP, lalu di SMA juga di ajarkan pas materi turunan fungsi dan digunakan pula dalam materi program linear
Nah, biasanya siswa paling males kalo disuruh membuat persamaan garis yang melewati 2 titik, karena caranya cukup rumit dan terlalu bertele-tele.
sy ambil contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,2) dan (2,5) !!!
Kalo pake cara yg aslinya :
- cari dulu gradien
m= (y2-y1) : (x2-x1)
= (5-2) : (2-1)
= 3 : 1
m = 3
-lalu gunakan rumus :
y-y1 = m (x-x1)
y-2 = 3 (x - 1)
y-2 = 3x - 3
y = 3x-3+2
y = 3x-1 atau 3x-y-1=0 atau 3x-y=1
nah, sbenernya ada cara lebih cepat, bahkan sangat cepat untuk menentukan pers. garis yg melalui 2 titik. caranya terilhami dari penggunaan determinan matriks.
jadi kalo disuruh menentukan pers garis yg melalui titik
(a,b) dan (c,d), maka rumus pers. Garisnya :
Pers.Garis : (d-b)x - (c-a)y = ad-bc
selisih ordinat (sb.y) dijadikan koefisien x dan selisih absis (sb.x) dijadikan koefisien y
contoh soal yg tadi
pErs garis yg melaui (1,2) dan (2,5)
jadi tinggal :
(5-2)x - (2-1)y =(1.5) - (2.2)
3x-y=5-4
3x-y=1
nah, sama kan hasilnya?
haha...
semoga bermanfaat
Sabtu, 06 Agustus 2011
Sejarah Peluang dan Statistika
Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.
Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu:
Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.
Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.
Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.
Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:
Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.
Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.
Ø Probleme des partis (Problem of Point)
Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain “fair games” sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya?
Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya,
Ø Dua orang melempar sebuah mata uang logam secara bergantian, setiap muncul muka orang pertama akan memperoleh 1 point, bila yang muncul adalah belakang maka pemain kedua yang mendapat 1 point. Jika orang pertama sudah mendapat 100 point maka orang tersebut akan mendapat uang $1000.
Bila pemain pertama mempunyai 100-m point,dan pemain kedua mempunyai 100- n point , berapa peluang pemain pertama akan menang
Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck . Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemungkinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler’s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.
Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:
1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano
2. Permutasi dan Kombinasi
3. Distribusi Binomial dan Multinomial
4. Teori Peluang
5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)
Jaques (Jacob) Bernoulli adalah orang yang pertama mengenalkan hukum bilangan besar (LLN). Dia mengerjakan dan mengembangkannya selama lebih dari 20 tahun, dan mempublikasikannya pada Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) pada tahun 1713. Dia menamakannya dengan teorema keemasan yang kemudian lebih dikenal dengan teorema Bernoulli. S.D Poisson menamakannya dengan La loi des Grand Nomber (The law Large Number). Setelah Bernoulli dan Poisson mempublikasikan LLN, maka matematikawan lainnya yang mengembangkan LLN adalah Chebysev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Mereka menghasilkan apa yang kita kenal dengan Weak law Large Number dan Strong Large Number.
Law Large Number (LLN)
Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema pada peluang yang menggambarkan stabilitas yang lama dari suatu variable random. Jika kita diberikan suatu sample random dari variable random yang identik dan independent (iid) dengan mean dan variannya finite, maka rata-rata sample akan mendekati rata-rata populasi.
Misalnya ketika kita melempar mata uang logam, maka frekuensi munculnya angka atau gambar akan mendekati 50 %, perbedaan frekuensi munculnya angka atau gambar tidak besar, contohnya kita akan mendapat munculnya angka sebanyak 520 kali dalam 1000 lemparan, dan 5096 kali dalam 10000 kali lemparan.
Kemudian pada tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754 , menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, yang diantaranya memuat Ars Conjectandi. Selain memuat Ars Conjectandi, buku ini juga memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya:
Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30.
Selain itu karya de Moivre adalah teorema limit pusat dan distribusi normal. Abraham de Moivre adalah orang yang pertama memperkenalkan distribusi normal pada tahun 1737, kemudian ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrine of Chances, yang membahas pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar. Hasil ini diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabiliteis pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan teorema De Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis percobaannya. Karena grafik probalitasnya mirip lonceng maka Jouffret pada tahun 1872 memberi nama kurva lonceng (bell curve) .Nama distribusi normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875.
Sejarah dari teorema limit pusat adalah sangat menarik, teorema ini dirumuskan pertama kali oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733. Moivre menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan banyaknya muncul muka (head) pada pelantunan mata uang. Penemuan ini hampir terlupakan, sebelum akhirnya matematikawan Perancis yang bernama Pierre Simon Laplace mengenalkannya dalam tulisan Theorie Analytique des Probabilities, yang dipublikasikan pada tahun1812. Laplace memperkirakan distribusi dari orbit komet dengan distribusi binomial. Pada abad ke 19 teorema limit pusat dirumuskan secara umum dan dibuktikan oleh matematikawan Rusia yang bernama Aleksander Lyapunov.
Berbeda dengan sejarah peluang yang berawal dari sebuah perjudian, statistika berawal dari kegiatan pengumpulan data yang dilakukan oleh John Graunt di Eropa pada tahun 1662, hal ini merupakan awal munculnya statistika deskriptif. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah- istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (dewan negara) dan bahasa Italia statista (negarawan atau politikus). Pada tahun 1749 Gottfried Achenwall menggunakan Statistika dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai ilmu tentang Negara (state). Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data“. Nama dan pengertian statistik pertama kali diperkenalkan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair . Jadi statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administrasif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.
Pada tahun yang sama juga, tahun 1662 John Graunt mulai menerbitkan karya miliknya yaitu Observation on the bills of mortality. John Graunt merupakan orang pertama yang menyingkat data ke dalam tabel. Dia juga membicarakan tentang reliabilitas data. John Graunt pula orang pertama yang mendemonstrasikan secara statistik bahwa jumlah dari pria dan wanita mendekati sama dan perbandingan jenis kelamin pada saat kelahiran stabil. Dia adalah orang pertama yang membentuk tabel hidup, yang membentuk kajian tentang asuransi jiwa secara matematik. Dari data yang terkumpul tersebut juga memicu lahirnya teknik pentabelan yang dilakukan oleh Edmon Halley pada tahun 1693. Seiring dengan perkembangan tori-teori probabilitas antara tahun 1713 – 1812, Galton yang semasa hidupnya menghasilkan 340 lebih tulisan dan buku, mempelajari fenomena korelasi dan regresi terhadap nilai rata-rata dan nilai tengah dan menggunakan metode statistik untuk mempelajari perbedaan pada sifat manusia dan warisan kecerdasan dengan menggunakan daftar pertanyaan-pertanyaan.
Penemuan-penemuan tersebut memicu lahirnya statistika inferensial yang diawali oleh Pearson pada tahun 1900 dengan Chi Square Test. Selain Chi Square Test, dengan menggunakan korelasi dan regresi linear, Pearson membuat model 3 dimensi sebagai model pengumpulan data dalam penelitian di Departemen Sains Statistik. Selain itu juga Pearson menggunakan distribusi probabilitas sebagai dasar untuk teori statistic modern.
Seorang kimiawan muda William Gosset atau yang lebih dikenal dengan panggilan “student” menggunakan ketidak cocokan penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Bersama seorang professor, ia merumuskan penemuannya pada tahun 1908. Ia menyebutnya dengan distribusi “student”. Penemuannya kurang mendapat perhatian terkecuali setelah dimasukkan ke dalam buku ajar statistika modern yang pertama yang ditulis oleh Sir Ronald Fisher 20 tahun kemudian. Pada tahun 1925, Fisher mempublikasikan buku yang berjudul Statistical Methods for Research Workers. Di buku tersebut, Fisher menuliskan mengenai ANAVA.
Sekitar tahun 1943-1946 penemuan-penemuan baru muncul seperti yang diperkenalkan oleh Cramer dan M. G Kendall yang mengkaji metode non parametric dengan menggunakan statistika inferensi. Satatistika non parametric muncul karena kebutuhan berdasarkan syarat yang tidak terpenuhi oleh statistika parametric. Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon menemukan satu uji, yang kemudian lebih dikenal dengan uji Wilcoxon.
Pada periode tahun 1950-1980 cakupan mengenai teori peluang dan statistic meningkat dengan munculnya bidang baru seperti teori antrian. William Feller mengembangkan topik-topik statistic tingkat lanjut seperti rantai markov. Pada tahun 1950, Rudolf Carnap menerbitkan risetnya yang berjudul Logical Fondation of Probabity yang berisi derajat informasi (degree of confirmation) dan frekuensi relatif. W.Edward Deming meneliti tentang kualiti control dan banyak perusahaan mengambil metode ini. Austin Bradford Hill mengembangkan statistik pada bidang kesehatan dan epidemiologi. Bradford mempelopori trial klinik random dan mendemonstrasikan hubungan antara kebiasaan merokok dengan penyakit kangker paru-paru. Quetelet mengaplikasikan teori peluang pada sensus. Semenjak tahun 1970 keuangan menjadi bagian penting dari penerapan teori peluang. Ito mengembangkan kalkulus stokastik pada tahun 1940 dan diterapkan pada model Black-Scholes. Black dan Scholes memenangkan hadiah nobel pada bidang ekonomi.
Periode tahun 1980an ditandai dengan mulainya penggunaan komputer dalam mengolah data statistik, dengan menggunakan komputer kita dapat menghemat waktu dalam mengolah data statistik, dan muncul aktifitas baru yang berkenaan dengan statistic. Tabel statistik menjadi lebih mudah dihasilkan, data yang besar dapat dengan mudah dianalisis secara mendalam dan lengkap. Pada awal abad ke 20 ketika Student(1908) menulis tentang distribusi normal dan Yule (1926) tentang korelasi, mereka menggunakan sampling dan berfaedah dalam menghasilkan tabel, dengan komputer menerapkan percobaan Montecarlo menjadi mungkin. Percobaan montecarlo adalah cara standar untuk menyelidiki tingkah laku yang finit pada prosedur statistik. Semenjak tahun 1980 metode montecarlo sudah digunakan secara luas. Walker menekankan statistic pada spikologi dan pendidikan.
Demikian uraian singkat tentang sejarah Peluang dan Statistika dalam Matematika. Tulisan ini hanya memberikan gambaran secara umum tentang sejarah lahir dan berkembangnya teori peluang dan statistika beserta tokoh-tokohnya. Semoga uraian singkat ini dapat memberikan gambaran umum tentang hubungan antara peluang dan statistika. Semoga dengan mengatahui sejarah dan tokoh-tokoh yang berperan dalam mengembangan konsep peluang dan statistika dapat membangkitkan minat dan motivasi untuk mempelajari dan mengembangkan teori peluang dan statistika ini.
Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu:
Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.
Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.
Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.
Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:
Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.
Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.
Ø Probleme des partis (Problem of Point)
Dua pemain judi P1 dan P2 sepakat untuk bermain “fair games” sampai salah satu dari mereka menang dengan nilai tertentu dari N kali permainan. Permainannya tiba-tiba dihentikan. P1 menang N1 kali permainan dan P2 menang N2 permainan. Bagaimana seharusnya membagi taruhannya?
Pada awalnya Pascal mempunyai rencana untuk menulis karya tentang problema of point ini atau yang disebut aleae geometría tetapi tidak pernah menulisnya,
Ø Dua orang melempar sebuah mata uang logam secara bergantian, setiap muncul muka orang pertama akan memperoleh 1 point, bila yang muncul adalah belakang maka pemain kedua yang mendapat 1 point. Jika orang pertama sudah mendapat 100 point maka orang tersebut akan mendapat uang $1000.
Bila pemain pertama mempunyai 100-m point,dan pemain kedua mempunyai 100- n point , berapa peluang pemain pertama akan menang
Di awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck . Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemungkinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai “Gambler’s ruin” dan bagian-bagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656.
Pada tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu:
1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano
2. Permutasi dan Kombinasi
3. Distribusi Binomial dan Multinomial
4. Teori Peluang
5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar)
Jaques (Jacob) Bernoulli adalah orang yang pertama mengenalkan hukum bilangan besar (LLN). Dia mengerjakan dan mengembangkannya selama lebih dari 20 tahun, dan mempublikasikannya pada Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) pada tahun 1713. Dia menamakannya dengan teorema keemasan yang kemudian lebih dikenal dengan teorema Bernoulli. S.D Poisson menamakannya dengan La loi des Grand Nomber (The law Large Number). Setelah Bernoulli dan Poisson mempublikasikan LLN, maka matematikawan lainnya yang mengembangkan LLN adalah Chebysev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Mereka menghasilkan apa yang kita kenal dengan Weak law Large Number dan Strong Large Number.
Law Large Number (LLN)
Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema pada peluang yang menggambarkan stabilitas yang lama dari suatu variable random. Jika kita diberikan suatu sample random dari variable random yang identik dan independent (iid) dengan mean dan variannya finite, maka rata-rata sample akan mendekati rata-rata populasi.
Misalnya ketika kita melempar mata uang logam, maka frekuensi munculnya angka atau gambar akan mendekati 50 %, perbedaan frekuensi munculnya angka atau gambar tidak besar, contohnya kita akan mendapat munculnya angka sebanyak 520 kali dalam 1000 lemparan, dan 5096 kali dalam 10000 kali lemparan.
Kemudian pada tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754 , menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, yang diantaranya memuat Ars Conjectandi. Selain memuat Ars Conjectandi, buku ini juga memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya:
Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30.
Selain itu karya de Moivre adalah teorema limit pusat dan distribusi normal. Abraham de Moivre adalah orang yang pertama memperkenalkan distribusi normal pada tahun 1737, kemudian ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrine of Chances, yang membahas pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar. Hasil ini diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabiliteis pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan teorema De Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis percobaannya. Karena grafik probalitasnya mirip lonceng maka Jouffret pada tahun 1872 memberi nama kurva lonceng (bell curve) .Nama distribusi normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875.
Sejarah dari teorema limit pusat adalah sangat menarik, teorema ini dirumuskan pertama kali oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733. Moivre menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan banyaknya muncul muka (head) pada pelantunan mata uang. Penemuan ini hampir terlupakan, sebelum akhirnya matematikawan Perancis yang bernama Pierre Simon Laplace mengenalkannya dalam tulisan Theorie Analytique des Probabilities, yang dipublikasikan pada tahun1812. Laplace memperkirakan distribusi dari orbit komet dengan distribusi binomial. Pada abad ke 19 teorema limit pusat dirumuskan secara umum dan dibuktikan oleh matematikawan Rusia yang bernama Aleksander Lyapunov.
Berbeda dengan sejarah peluang yang berawal dari sebuah perjudian, statistika berawal dari kegiatan pengumpulan data yang dilakukan oleh John Graunt di Eropa pada tahun 1662, hal ini merupakan awal munculnya statistika deskriptif. Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah- istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (dewan negara) dan bahasa Italia statista (negarawan atau politikus). Pada tahun 1749 Gottfried Achenwall menggunakan Statistika dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai ilmu tentang Negara (state). Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data“. Nama dan pengertian statistik pertama kali diperkenalkan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair . Jadi statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administrasif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.
Pada tahun yang sama juga, tahun 1662 John Graunt mulai menerbitkan karya miliknya yaitu Observation on the bills of mortality. John Graunt merupakan orang pertama yang menyingkat data ke dalam tabel. Dia juga membicarakan tentang reliabilitas data. John Graunt pula orang pertama yang mendemonstrasikan secara statistik bahwa jumlah dari pria dan wanita mendekati sama dan perbandingan jenis kelamin pada saat kelahiran stabil. Dia adalah orang pertama yang membentuk tabel hidup, yang membentuk kajian tentang asuransi jiwa secara matematik. Dari data yang terkumpul tersebut juga memicu lahirnya teknik pentabelan yang dilakukan oleh Edmon Halley pada tahun 1693. Seiring dengan perkembangan tori-teori probabilitas antara tahun 1713 – 1812, Galton yang semasa hidupnya menghasilkan 340 lebih tulisan dan buku, mempelajari fenomena korelasi dan regresi terhadap nilai rata-rata dan nilai tengah dan menggunakan metode statistik untuk mempelajari perbedaan pada sifat manusia dan warisan kecerdasan dengan menggunakan daftar pertanyaan-pertanyaan.
Penemuan-penemuan tersebut memicu lahirnya statistika inferensial yang diawali oleh Pearson pada tahun 1900 dengan Chi Square Test. Selain Chi Square Test, dengan menggunakan korelasi dan regresi linear, Pearson membuat model 3 dimensi sebagai model pengumpulan data dalam penelitian di Departemen Sains Statistik. Selain itu juga Pearson menggunakan distribusi probabilitas sebagai dasar untuk teori statistic modern.
Seorang kimiawan muda William Gosset atau yang lebih dikenal dengan panggilan “student” menggunakan ketidak cocokan penggunaan kurva normal untuk ukuran sampel kecil. Bersama seorang professor, ia merumuskan penemuannya pada tahun 1908. Ia menyebutnya dengan distribusi “student”. Penemuannya kurang mendapat perhatian terkecuali setelah dimasukkan ke dalam buku ajar statistika modern yang pertama yang ditulis oleh Sir Ronald Fisher 20 tahun kemudian. Pada tahun 1925, Fisher mempublikasikan buku yang berjudul Statistical Methods for Research Workers. Di buku tersebut, Fisher menuliskan mengenai ANAVA.
Sekitar tahun 1943-1946 penemuan-penemuan baru muncul seperti yang diperkenalkan oleh Cramer dan M. G Kendall yang mengkaji metode non parametric dengan menggunakan statistika inferensi. Satatistika non parametric muncul karena kebutuhan berdasarkan syarat yang tidak terpenuhi oleh statistika parametric. Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon menemukan satu uji, yang kemudian lebih dikenal dengan uji Wilcoxon.
Pada periode tahun 1950-1980 cakupan mengenai teori peluang dan statistic meningkat dengan munculnya bidang baru seperti teori antrian. William Feller mengembangkan topik-topik statistic tingkat lanjut seperti rantai markov. Pada tahun 1950, Rudolf Carnap menerbitkan risetnya yang berjudul Logical Fondation of Probabity yang berisi derajat informasi (degree of confirmation) dan frekuensi relatif. W.Edward Deming meneliti tentang kualiti control dan banyak perusahaan mengambil metode ini. Austin Bradford Hill mengembangkan statistik pada bidang kesehatan dan epidemiologi. Bradford mempelopori trial klinik random dan mendemonstrasikan hubungan antara kebiasaan merokok dengan penyakit kangker paru-paru. Quetelet mengaplikasikan teori peluang pada sensus. Semenjak tahun 1970 keuangan menjadi bagian penting dari penerapan teori peluang. Ito mengembangkan kalkulus stokastik pada tahun 1940 dan diterapkan pada model Black-Scholes. Black dan Scholes memenangkan hadiah nobel pada bidang ekonomi.
Periode tahun 1980an ditandai dengan mulainya penggunaan komputer dalam mengolah data statistik, dengan menggunakan komputer kita dapat menghemat waktu dalam mengolah data statistik, dan muncul aktifitas baru yang berkenaan dengan statistic. Tabel statistik menjadi lebih mudah dihasilkan, data yang besar dapat dengan mudah dianalisis secara mendalam dan lengkap. Pada awal abad ke 20 ketika Student(1908) menulis tentang distribusi normal dan Yule (1926) tentang korelasi, mereka menggunakan sampling dan berfaedah dalam menghasilkan tabel, dengan komputer menerapkan percobaan Montecarlo menjadi mungkin. Percobaan montecarlo adalah cara standar untuk menyelidiki tingkah laku yang finit pada prosedur statistik. Semenjak tahun 1980 metode montecarlo sudah digunakan secara luas. Walker menekankan statistic pada spikologi dan pendidikan.
Demikian uraian singkat tentang sejarah Peluang dan Statistika dalam Matematika. Tulisan ini hanya memberikan gambaran secara umum tentang sejarah lahir dan berkembangnya teori peluang dan statistika beserta tokoh-tokohnya. Semoga uraian singkat ini dapat memberikan gambaran umum tentang hubungan antara peluang dan statistika. Semoga dengan mengatahui sejarah dan tokoh-tokoh yang berperan dalam mengembangan konsep peluang dan statistika dapat membangkitkan minat dan motivasi untuk mempelajari dan mengembangkan teori peluang dan statistika ini.
Selasa, 28 Juni 2011
Sejarah Aljabar
Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.
Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
Asal Mula Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab "al-jabr" yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:
- Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;
- Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;
- Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan
- Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.
Klasifikasi dari Aljabar
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’);
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
Aljabar Elementer
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh "Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.").
Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai Rumus Gravitasi Newton.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.
Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
Asal Mula Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid's Elements’, dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab "al-jabr" yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing"), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis besar adalah sebagai berikut:
- Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;
- Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;
- Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan
- Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.
Klasifikasi dari Aljabar
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan Aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.(bidang ini juga mencakup materi yang biasanya diajarkan di sekolah menengah yaitu ‘Intermediate Algebra’ dan ‘college algebra’);
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
Aljabar Elementer
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh "Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.").
Senin, 27 Juni 2011
Tips Cara Membentuk Otot
Langkah 1
jauhkan diri dari makanan berkalori tinggi seperti gorengan, makanan siap saji, olahan tepung, dan makanan manis. perbanyak konsumsi ikan, olahan susu rendah lemak, kacang-kacangan, buah-buahan, sayur-sayuran, dan gandum
Langkah 2
jadikan air putih sebagai cairan utama yang kita minum, jangan bergantung pada kopi, teh manis, milk shakes atau jus dengan gula atau pemanis buatan. air putih akan membantu tubuh membakar kalori dengan sempurna. jadikan 10 gelas air putih sebagai target kita setiap hari
Langkah 3
makanlah setiap 4 jam sekali dengan porsi yang kecil. ini akan membantu tubuh memiliki energi yang stabil. untuk otot, kondisi ini akan membuat nutrisi teraliri dengan konstan. tapi pastikan makanan yang kita pilih mengandung lebih banyak protein dan karbohidrat kompleks. misalnya sepotong dada ayam panggang disandingkan dengan roti gandum utuh dengan potongan selada dan tomat akan menjadi menu makan siang yang mengenyangkan bagi perut serta otot.
Langkah 4
jangan lupa melengkapi program latihan bakar lemak kita dengan olahraga kardio. lakukan olahraga kardio yang kita sukai apakah itu berenang, berlari, naik turun tangga, atau skipping
Langkah 5
Lakukan juga latihan beban, karena otot tidak bisa terbentuk tanpa bantuan beban. pastikan otot yang kita bentuk adalah satu kesatuan jaringan otot. contohnya ketika kita melakukan push-up, otot-otot yang dibentuk tidak hanya otot lengan, tapi juga pundak, bahu, sampai otot-otot samping perut
Langkah 6
Tidurlah dengan lelap di malam hari. sebab saat kita tidur, tubuh akan mengeluarkan hormon-hormon pembentuk otot serta memperbaiki jaringan otot yang rusak saat proses bentuk otot. bonus tambahannya, tidur yang lelap akan mengendalikan nafsu makan kita tetap stabil
jauhkan diri dari makanan berkalori tinggi seperti gorengan, makanan siap saji, olahan tepung, dan makanan manis. perbanyak konsumsi ikan, olahan susu rendah lemak, kacang-kacangan, buah-buahan, sayur-sayuran, dan gandum
Langkah 2
jadikan air putih sebagai cairan utama yang kita minum, jangan bergantung pada kopi, teh manis, milk shakes atau jus dengan gula atau pemanis buatan. air putih akan membantu tubuh membakar kalori dengan sempurna. jadikan 10 gelas air putih sebagai target kita setiap hari
Langkah 3
makanlah setiap 4 jam sekali dengan porsi yang kecil. ini akan membantu tubuh memiliki energi yang stabil. untuk otot, kondisi ini akan membuat nutrisi teraliri dengan konstan. tapi pastikan makanan yang kita pilih mengandung lebih banyak protein dan karbohidrat kompleks. misalnya sepotong dada ayam panggang disandingkan dengan roti gandum utuh dengan potongan selada dan tomat akan menjadi menu makan siang yang mengenyangkan bagi perut serta otot.
Langkah 4
jangan lupa melengkapi program latihan bakar lemak kita dengan olahraga kardio. lakukan olahraga kardio yang kita sukai apakah itu berenang, berlari, naik turun tangga, atau skipping
Langkah 5
Lakukan juga latihan beban, karena otot tidak bisa terbentuk tanpa bantuan beban. pastikan otot yang kita bentuk adalah satu kesatuan jaringan otot. contohnya ketika kita melakukan push-up, otot-otot yang dibentuk tidak hanya otot lengan, tapi juga pundak, bahu, sampai otot-otot samping perut
Langkah 6
Tidurlah dengan lelap di malam hari. sebab saat kita tidur, tubuh akan mengeluarkan hormon-hormon pembentuk otot serta memperbaiki jaringan otot yang rusak saat proses bentuk otot. bonus tambahannya, tidur yang lelap akan mengendalikan nafsu makan kita tetap stabil
Sabtu, 25 Juni 2011
Ilmu Vs Harta
1. Ilmu adalah warisan Rasulullah SAW, sedangkan harta adalah warisan Fir'aun
2. Engkau harus menjaga hartamu, sedangkan ilmu akan menjagamu
3. Seseorang yang berharta biasanya mempunyai banyak musuh, sedangkan seseorang yang berilmu mempunyai banyak teman
4. Ilmu akan bertambah jika dibagi-bagikan, sedangkan harta akan berkurang bila dibagi-bagikan
5. Orang yang berilmu cenderung menjadi dermawan, sedangkan orang yang berharta cenderung menjadi kikir dan pelit
6. Ilmu lebih aman karena ia tidak dapat dicuri, sedangkan harta dapat dicuri
7. Ilmu lebih tahan karena tidak rusak oleh waktu, sedangkan harta bisa rusak binasa
8. Ilmu lebih bernilai karena ia tanpa batas, sedangkan harta terbatas dan dapat dihitung
9. Ilmu lebih bermutu karena dapat menerangi pikiran, sedangkan harta cenderung membuat pikiran menjadi beku
10. Ilmu lebih utama karena dia mengajak manusia untuk mengabdi kepada Tuhan, mengingatkan manusia adalah makhluk-Nya, sedangkan harta mendorong manusia menganggap dirinya sebagai Tuhan
2. Engkau harus menjaga hartamu, sedangkan ilmu akan menjagamu
3. Seseorang yang berharta biasanya mempunyai banyak musuh, sedangkan seseorang yang berilmu mempunyai banyak teman
4. Ilmu akan bertambah jika dibagi-bagikan, sedangkan harta akan berkurang bila dibagi-bagikan
5. Orang yang berilmu cenderung menjadi dermawan, sedangkan orang yang berharta cenderung menjadi kikir dan pelit
6. Ilmu lebih aman karena ia tidak dapat dicuri, sedangkan harta dapat dicuri
7. Ilmu lebih tahan karena tidak rusak oleh waktu, sedangkan harta bisa rusak binasa
8. Ilmu lebih bernilai karena ia tanpa batas, sedangkan harta terbatas dan dapat dihitung
9. Ilmu lebih bermutu karena dapat menerangi pikiran, sedangkan harta cenderung membuat pikiran menjadi beku
10. Ilmu lebih utama karena dia mengajak manusia untuk mengabdi kepada Tuhan, mengingatkan manusia adalah makhluk-Nya, sedangkan harta mendorong manusia menganggap dirinya sebagai Tuhan
25 Fakta Aneh dari Tubuh Manusia
Tubuh manusia menyimpan berbagai misteri yang sangat mengagumkan, meski kadang terlihat aneh atau ganjil. setidaknya ada 25 fakta dari tubuh manusia yang belum banya diketahui dan terbilang aneh.
Tubuh manusia terdiri dari berbagai macam organ dan jaringan yang bisa bekerja sama, hal ini membuat seseorang bisa hidup dengan baik. semua koordinasi sel dan organ membuat tubuh menjalankan fungsi yang sempurna.
Berikut 25 fakta aneh tentang tubuh manusia, seperti dilansir healthmad (detikhealth) yaitu :
1. dalam tubuh manusia, sekitar 3 juta sel mati setiap menit
2. partikel debu yang ditemukan di rumah, sebagian besar berasal dari kulit mati tubuh manusia
3. otak relatif lebih aktif pada malam hari dalam satu hari
4. otak terdiri dari 80% air
5. rata-rata orang setiap hari kehilangan sekitar 60-100 helai rambut
6. otot terkuat dalam tubuh manusia adalah lidah
7. mata dan hidung selalu tumbuh, tapi mata tetap dengan ukuran yang sama dari awal
8. sel telur perempuan adalah sel terbesar dalam tubuh dan sperma laki-laki adalah sel terkecil
9. untuk mengambil satu langkah, tubuh manusia menggunakan sekitar 200 otot
10. ada sekitar 1 trillyun bakteri ditemukan pada masing-masing kaki
11. sekitar 6 bulan sebelum bayi lahir, gigi sudah mulai tumbuh tapi belum muncul ke permukaan gusi
12. kotoran telinga lebih banyak di sekresikan oleh tubuh saat orang merasa takut
13. sekitar 36.000 galon darah dipompa oleh jantung setiap hari
14. ada sekitar 250.000 kelenjar keringat yang ditemukan pada sepasang kaki manusia
15. setiap manusia pada saat konsepsi (pembuahan benih) menghabiskan sekitar setengah jam sebagai sel tunggal
16. untuk menghasilkan suara ketika berbicara digunakan sekitar 72 otot
17. jantung perempuan berdetak lebih cepat dari jantung laki-laki
18. semua fungsi tubun berhenti ketika anda bersin, termasuk jantung selama sekitar satu detik
19. sekitar 15 juta sel darah bisa hancur setiap detik
20. laki-laki dapat mengalami ereksi setiap satu setengah jam saat tidur
21. ada sekitar 120 juta hubungan seksual yang berlangsung setiap hari di seluruh dunia
22. ada sekitar 31.500 kata yang diucapkan manusia setiap hari
23. saat terlalu banyak makan, kemampuan pendengaran manusia menjadi berkurang
24. golongan darah O adalah golongan darah yang paling umum di dunia
25. manusia tidak merasa geli saat menggelitik dirinya sendiri
Tubuh manusia terdiri dari berbagai macam organ dan jaringan yang bisa bekerja sama, hal ini membuat seseorang bisa hidup dengan baik. semua koordinasi sel dan organ membuat tubuh menjalankan fungsi yang sempurna.
Berikut 25 fakta aneh tentang tubuh manusia, seperti dilansir healthmad (detikhealth) yaitu :
1. dalam tubuh manusia, sekitar 3 juta sel mati setiap menit
2. partikel debu yang ditemukan di rumah, sebagian besar berasal dari kulit mati tubuh manusia
3. otak relatif lebih aktif pada malam hari dalam satu hari
4. otak terdiri dari 80% air
5. rata-rata orang setiap hari kehilangan sekitar 60-100 helai rambut
6. otot terkuat dalam tubuh manusia adalah lidah
7. mata dan hidung selalu tumbuh, tapi mata tetap dengan ukuran yang sama dari awal
8. sel telur perempuan adalah sel terbesar dalam tubuh dan sperma laki-laki adalah sel terkecil
9. untuk mengambil satu langkah, tubuh manusia menggunakan sekitar 200 otot
10. ada sekitar 1 trillyun bakteri ditemukan pada masing-masing kaki
11. sekitar 6 bulan sebelum bayi lahir, gigi sudah mulai tumbuh tapi belum muncul ke permukaan gusi
12. kotoran telinga lebih banyak di sekresikan oleh tubuh saat orang merasa takut
13. sekitar 36.000 galon darah dipompa oleh jantung setiap hari
14. ada sekitar 250.000 kelenjar keringat yang ditemukan pada sepasang kaki manusia
15. setiap manusia pada saat konsepsi (pembuahan benih) menghabiskan sekitar setengah jam sebagai sel tunggal
16. untuk menghasilkan suara ketika berbicara digunakan sekitar 72 otot
17. jantung perempuan berdetak lebih cepat dari jantung laki-laki
18. semua fungsi tubun berhenti ketika anda bersin, termasuk jantung selama sekitar satu detik
19. sekitar 15 juta sel darah bisa hancur setiap detik
20. laki-laki dapat mengalami ereksi setiap satu setengah jam saat tidur
21. ada sekitar 120 juta hubungan seksual yang berlangsung setiap hari di seluruh dunia
22. ada sekitar 31.500 kata yang diucapkan manusia setiap hari
23. saat terlalu banyak makan, kemampuan pendengaran manusia menjadi berkurang
24. golongan darah O adalah golongan darah yang paling umum di dunia
25. manusia tidak merasa geli saat menggelitik dirinya sendiri
Manfaat Berpikir Positif
Berpikir positif tidak hanya berpengaruh pada bagaimana cara orang berpikir, tetapi juga membuat peran besar dalam hidup. banyak bonus yang didapat bila anda selalu berpikir positif. apa saja?
sikap positif membantu untuk mengatasi urusan kehidupan sehari-hari dengan lebih mudah. pandangan positif dapat membantu anda mengatasi situasi stres dengan lebih baik dan dapat mengubah hidup menjadi lebih baik.
berikut beberapa manfaat yang diperoleh bila anda selalu berpikiran positif :
1. Manajemen stres yang lebih baik
berpikir positif membantu mengatasi stres saat mendekati situasi stres dengan cara yang positif. mengabaikan pikiran negatif dan menggantinya dengan optimisme akan mengurangi kecemasan, sehingga mengurangi stres.
2. Kesehatan yang lebih baik
Pemikiran dapat langsung mempengaruhi tubuh dan bagaimana fungsinya. bila orang mengganti pikiran negatif dengan ketenangan, keyakinan, dan kedamaian bukan kebencian, kecemasan dan khawatir. anda akan merasakan kesejahteraan.
Ini berarti berpikir positif dapat bermanfaat untuk mengatasi gangguan tidur, ketegangan otot, kecemasan, dan kelelahan. orang yang berpikir negatif lebih menderita depresi lebih dan kecemasan.
3. Percaya Diri
Berpikir positif mempromosikan percaya diri. hal ini akan membuat orang dapat mengeluarkan potensi optimal dalam dirinya.
4. Pengambilan Keputusan yang Lebih Baik
Orang yang optimis adalah pembuat keputusan yang lebih baik. Berpikir Positif mencegah orang dari membuat penilaian yang meragukan, keputusan bodoh atau melakukan hal-hal yang akan disesali di kemudian hari. ketika orang mulai menggunakan hak pikirannya, ia dapat membuat keputusan dengan cepat dan tepat.
5. Meningkatkan Fokus
Berpikir positif akan membantu berfokus pada solusi daripada membuang-buang waktu dan energi pada emosi negatif.
6. Mengurangi rasa takut
Rasa takut berasal dari berpikir tentang hal yang negatif. sehingga menjadi seorang pemikir positif akan dapat menghilangkan rasa takut. keberanian ini berasal dari kenyataan bahwa ketika seseorang tetap positif ia akan tahu bahwa apapun yang terjadi dalam hidupnya dapat dihadapi.
7. Hidup lebih bahagia
Jika orang memiliki pikiran yang berfikir positif, ia akan selalu mengantisipasi kehidupan dengan bahagia, damai, tawa, kesehatan dan kesuksesan finansial.
So, bagaimana caranya berfikir positif???
Berikut adalah beberapa tips untuk membantu anda menanamkan kebiasaan berfikir positif :
- Jadilah optimis dan mengharapkan hasil yang menguntungkan dalam setiap situasi
- Temukan alasan untuk tersenyum lebih sering
- Bayangkan saja aya yang anda inginkan bisa terjadi
- Melibatkan diri dalam kegiatan rekreasi menyenangkan
- Bacalah hal-hal yang dapat menginspirasi
- Ikuti gaya hidup sehat
- Berolah raga sedikitnya tiga kali seminggu
- Bergabunglah dengan orang-orang bahagia
sikap positif membantu untuk mengatasi urusan kehidupan sehari-hari dengan lebih mudah. pandangan positif dapat membantu anda mengatasi situasi stres dengan lebih baik dan dapat mengubah hidup menjadi lebih baik.
berikut beberapa manfaat yang diperoleh bila anda selalu berpikiran positif :
1. Manajemen stres yang lebih baik
berpikir positif membantu mengatasi stres saat mendekati situasi stres dengan cara yang positif. mengabaikan pikiran negatif dan menggantinya dengan optimisme akan mengurangi kecemasan, sehingga mengurangi stres.
2. Kesehatan yang lebih baik
Pemikiran dapat langsung mempengaruhi tubuh dan bagaimana fungsinya. bila orang mengganti pikiran negatif dengan ketenangan, keyakinan, dan kedamaian bukan kebencian, kecemasan dan khawatir. anda akan merasakan kesejahteraan.
Ini berarti berpikir positif dapat bermanfaat untuk mengatasi gangguan tidur, ketegangan otot, kecemasan, dan kelelahan. orang yang berpikir negatif lebih menderita depresi lebih dan kecemasan.
3. Percaya Diri
Berpikir positif mempromosikan percaya diri. hal ini akan membuat orang dapat mengeluarkan potensi optimal dalam dirinya.
4. Pengambilan Keputusan yang Lebih Baik
Orang yang optimis adalah pembuat keputusan yang lebih baik. Berpikir Positif mencegah orang dari membuat penilaian yang meragukan, keputusan bodoh atau melakukan hal-hal yang akan disesali di kemudian hari. ketika orang mulai menggunakan hak pikirannya, ia dapat membuat keputusan dengan cepat dan tepat.
5. Meningkatkan Fokus
Berpikir positif akan membantu berfokus pada solusi daripada membuang-buang waktu dan energi pada emosi negatif.
6. Mengurangi rasa takut
Rasa takut berasal dari berpikir tentang hal yang negatif. sehingga menjadi seorang pemikir positif akan dapat menghilangkan rasa takut. keberanian ini berasal dari kenyataan bahwa ketika seseorang tetap positif ia akan tahu bahwa apapun yang terjadi dalam hidupnya dapat dihadapi.
7. Hidup lebih bahagia
Jika orang memiliki pikiran yang berfikir positif, ia akan selalu mengantisipasi kehidupan dengan bahagia, damai, tawa, kesehatan dan kesuksesan finansial.
So, bagaimana caranya berfikir positif???
Berikut adalah beberapa tips untuk membantu anda menanamkan kebiasaan berfikir positif :
- Jadilah optimis dan mengharapkan hasil yang menguntungkan dalam setiap situasi
- Temukan alasan untuk tersenyum lebih sering
- Bayangkan saja aya yang anda inginkan bisa terjadi
- Melibatkan diri dalam kegiatan rekreasi menyenangkan
- Bacalah hal-hal yang dapat menginspirasi
- Ikuti gaya hidup sehat
- Berolah raga sedikitnya tiga kali seminggu
- Bergabunglah dengan orang-orang bahagia
Jumat, 25 Maret 2011
Penyelesaian nilai sin 54.sin18, sin 54-sin18 dan sin 54+sin 18
bagi murid2/mahasiswa/guru2 matematika, kadang kita sering menemukan soal trigonometri seperti ini :
berapakah nilai dari :
a. sin54.sin18 !
b. sin54-sin18 !
c. sin54+sin18 !
(maaf tanda derajatnya tak ditulis, tp mksd'y pke derajat)
ketika melihat soal ini, ada yang raut wajahnya agak di tekuk ke dalam (sambil rd manyun) ada pula yg sdikit tersenyum (gk tau krn gampang atau pura2. hee...)
pasti hal pertama yg terpikir adalah mengubah bentuk operasi kedalam nilai trigonometri sudut istimewa dan berharap ada nilai yang saling menghabiskan. itu pula yang sy lakukan dan alhamdulillah selama 2 malam tak kunjung dapat hasilnya. tapi dengan sedikit sentuhan, maka hasilnya akan didapatkan. kbanyakan ada yg udah tau isinya, yaitu 1/2 atau 1/4 tapi tak tau caranya.
Oke, sy akan coba pecahkan penyelesaian dari soal ini. tapi sblumnya sy akan mengganti tanda pangkat jd seperti ini :''=pangkat2, '''=pangkat3, ''''=pangkat 4, dst.
sin54=cos36 (tau kan knp jd sperti ini)
3sin18-4sin'''18=1-2sin''18 (pake rumus sudut rangkap)
4sin'''18-2sin''18-3sin18+1=0
(sy tulis -2sin''18 = -4sin''18+2sin''18, boleh kan???)
jadi,
4sin'''18-4sin''18+2sin''18-3sin18+1=0
lalu faktorkan. hasilnya :
4sin''18 (sin18-1)+(2sin18-1)(sin18-1)=0
faktorkan lagi dg (sin18-1) sbg faktornya
(sin18-1)(4sin''18+2sin18-1)=0
nah, sekarang kita dapat 2 faktor
sin18-1=0
maka sin18=1 (tidak memenuhi)
lalu, 4sin''18+2sin18-1=0
ini tak dapat difaktorkan, maka dari itu kita gunakan rumus kuadratis (rumus abc). setelah dihitung, hasilnya :
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau -1/4-1/4 (akar5)
dan yg diambil adalah -1/4+1/4 (akar5) krn yg satunya lagi bernilai negatit jd tak memenuhi (nilai sin di kuadran 1 positif).
kita udah dapet nilai sin18=-1/4+1/4 (akar5)
tinggal nyari nilai sin54 dg cara :
sin54=cos36
=1-2sin''18
=1-2[-1/4+1/4 (Akar5)]''
=1-2[1/16-1/8 (akar5)+5/16]
=1-2[6/16-1/8 (akar5)]
=1-2[3/8-1/8 (akar5)]
=1-3/4+1/4 (akar5)
sin54=1/4+1/4 (akar5)
nah, sekarang kita sudah mendapatkan nilai
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)-1/4
sin54=1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)+1/4
maka :
sin54.sin18=[1/4 (akar5)+1/4][1/4 (akar5)-1/4]
ini merupakan bentuk perkalian selisih dua kuadrat
(a-b)(a+b)=a''-b''
jadi,
sin54.sin18=[1/4 (akar5)]''-[1/4]''
=5/16-1/16
=4/16
=1/4
sin54-sin18=[1/4 (akar5)+1/4]-[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 -1/4 (akar5)+1/4
=1/4+1/4
=1/2
sin54+sin18=[1/4 (akar5)+1/4]+[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 +1/4 (akar5)-1/4
=1/4 (akar5)+1/4 (akar5)
=1/2 (akar5)
haha...gampang kan???
ternyata sin18 dan sin54 juga bisa disebut nilai trigonometri sudut ''istimewa''. hehehh....
OK....Maybe just it...
smoga bermanfaat.
Slamat mencoba and Good Luck !!!
berapakah nilai dari :
a. sin54.sin18 !
b. sin54-sin18 !
c. sin54+sin18 !
(maaf tanda derajatnya tak ditulis, tp mksd'y pke derajat)
ketika melihat soal ini, ada yang raut wajahnya agak di tekuk ke dalam (sambil rd manyun) ada pula yg sdikit tersenyum (gk tau krn gampang atau pura2. hee...)
pasti hal pertama yg terpikir adalah mengubah bentuk operasi kedalam nilai trigonometri sudut istimewa dan berharap ada nilai yang saling menghabiskan. itu pula yang sy lakukan dan alhamdulillah selama 2 malam tak kunjung dapat hasilnya. tapi dengan sedikit sentuhan, maka hasilnya akan didapatkan. kbanyakan ada yg udah tau isinya, yaitu 1/2 atau 1/4 tapi tak tau caranya.
Oke, sy akan coba pecahkan penyelesaian dari soal ini. tapi sblumnya sy akan mengganti tanda pangkat jd seperti ini :''=pangkat2, '''=pangkat3, ''''=pangkat 4, dst.
sin54=cos36 (tau kan knp jd sperti ini)
3sin18-4sin'''18=1-2sin''18 (pake rumus sudut rangkap)
4sin'''18-2sin''18-3sin18+1=0
(sy tulis -2sin''18 = -4sin''18+2sin''18, boleh kan???)
jadi,
4sin'''18-4sin''18+2sin''18-3sin18+1=0
lalu faktorkan. hasilnya :
4sin''18 (sin18-1)+(2sin18-1)(sin18-1)=0
faktorkan lagi dg (sin18-1) sbg faktornya
(sin18-1)(4sin''18+2sin18-1)=0
nah, sekarang kita dapat 2 faktor
sin18-1=0
maka sin18=1 (tidak memenuhi)
lalu, 4sin''18+2sin18-1=0
ini tak dapat difaktorkan, maka dari itu kita gunakan rumus kuadratis (rumus abc). setelah dihitung, hasilnya :
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau -1/4-1/4 (akar5)
dan yg diambil adalah -1/4+1/4 (akar5) krn yg satunya lagi bernilai negatit jd tak memenuhi (nilai sin di kuadran 1 positif).
kita udah dapet nilai sin18=-1/4+1/4 (akar5)
tinggal nyari nilai sin54 dg cara :
sin54=cos36
=1-2sin''18
=1-2[-1/4+1/4 (Akar5)]''
=1-2[1/16-1/8 (akar5)+5/16]
=1-2[6/16-1/8 (akar5)]
=1-2[3/8-1/8 (akar5)]
=1-3/4+1/4 (akar5)
sin54=1/4+1/4 (akar5)
nah, sekarang kita sudah mendapatkan nilai
sin18=-1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)-1/4
sin54=1/4+1/4 (akar5) atau bisa ditulis 1/4 (akar5)+1/4
maka :
sin54.sin18=[1/4 (akar5)+1/4][1/4 (akar5)-1/4]
ini merupakan bentuk perkalian selisih dua kuadrat
(a-b)(a+b)=a''-b''
jadi,
sin54.sin18=[1/4 (akar5)]''-[1/4]''
=5/16-1/16
=4/16
=1/4
sin54-sin18=[1/4 (akar5)+1/4]-[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 -1/4 (akar5)+1/4
=1/4+1/4
=1/2
sin54+sin18=[1/4 (akar5)+1/4]+[1/4 (akar5)-1/4]
=1/4 (akar5)+1/4 +1/4 (akar5)-1/4
=1/4 (akar5)+1/4 (akar5)
=1/2 (akar5)
haha...gampang kan???
ternyata sin18 dan sin54 juga bisa disebut nilai trigonometri sudut ''istimewa''. hehehh....
OK....Maybe just it...
smoga bermanfaat.
Slamat mencoba and Good Luck !!!
Cara mudah belajar Trigonometri
Seorang teman mengeluh kepada saya tentang betapa sulitnya trigonometri...padahal menurut saya materi ini sangatlah 'mengasyikan'. kebetulan pada waktu itu ia mengalami kesulitan dalam mengubah nilai trigonometri sudut istimewa di berbagai kuadran. kalau dihitung-hitung ada sekitar 48 RUMUS yang harus dihafalkan. wah,,,banyak juga ya, saya pun tak sanggup untuk menghafalkan rumus sebanyak itu. tapi dalam setiap masalah selalu ada 2 kemudahan yang mengapitnya.
balik lagi ke trigonometri
misal ada contoh seperti ini : sin (270'+A) (A maksudnya alpha dan ' adlh derajat). kalau liat rumus maka akan sama dengan (-cos A). Lho ko bisa??? ya bisa lah karena ini bisa dijelaskan lewat diagram cartesius, cukup pusing memang untuk memahaminya kalau melalui gambar diagram cartesius. trus misal ada lagi soal : sec (360-A)=??? maka dengan sangat mudah sy jwb cosec A. haha...ternyata ada sesuatu yg unik dari ke 48 rumus itu..
oke...sy mau berbagi tips gimana caranya memahami (bkn menghafal) rumus trigonometri sudut berbagai kuadran.
PERTAMA
Ingat...Dalam diagram cartesius terbagi menjadi 4 kuadran (kw). kuadran 1 terletak di kanan atas (X dan Y positif), kuadran 2 terletak di kiri atas (X negatif, Y positif), kuadran 3 terletak di kiri bwh (X dan Y negatif), kuadran 4 terletak di kanan bwh (X positif, Y negatif).
nah, nilai trigonometri di tiap kuadran itu berbeda-beda (positif atau negatifnya). di kuadran 1, semua nilai trigonometri adalah positif (+). di kuadran 2, HANYA sinus (sin) dan kebalikannya (cosecan) yang bernilai positif, yg lainnya negatif. di kw 3 HANYA tangen (tan) dan cotangen (cot) yg bernilai positif. dan di kw 4, hanya cosinus (cos) dan secan (sec) yg bernilai positif. biar gampang inget, dalam bahasa "Jerman" ada kata ASINTOS yg artinya postif. A=All positif (kw 1), SIN=SIN (kw2), T=Tan (kw 3), OS=cOS (kw 4).
KEDUA
jika ada soal seperti ini : sin (90'+A) atau tan (270'+A) (perhatikan angka 90 dan 270 nya). maka nilai trigonometrinya berubah, yang tadinya sin berubah jd cos (bgitu jg sbaliknya), yg tadinya tan menjdi cot (bgitu jg sbaliknya), dan yg tdinya cosec mnjdi sec (bgitu jg sbaliknya).
lalu, kalo ada soal seperti ini : sin (180'+A) atau tan (360'+A) (perhatikan angka 180 dan 360 nya). maka nilai trigonometrinya TETAP.
KETIGA
Tiap kuadran punya batas sudut 90'. kalo lebih sdikit saja berarti sudah masuk ke kuadran lain. misal ada soal sperti ini : cos (180'+A), maka sudutx ada di kw 3, kalo cos (180' - A) brarti sdutnya ada di kw 2.<90 br="">
KEEMPAT
kalo sudah memahami langkah 1,2,3 sy jamin apapun soalnya pasti bisa di jawab.
contoh :
nilai cos (270'+A)=.....
sy bantu...pertama, karena (270'+A) berarti ada di kw 4, sdangkan nilai cos di kw 4 adalah POSITIF (ingat ASINTOS). lalu ada angka (270'+A) artinya cos berubh jd sin. maka nilai cos (270'+A)=+sin A (cukup ditulils sin A saja).
lagi... nilai tan (360'-A)=....
jwb : itu ada di kw 4, tan di kw 4 negatif, angka (360'-A) berarti tetap tan. jd jwbannya -tan A. hahaha...mudah bukan??? mudah atau tidak tergantung dari banyaknya kita mengerjakan latihan soal.
ada 3 soal d bwh ini...
1. Cot (180'+A)=....
2. sin (270'-A)=....
3. cos (90'+A)=....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kalau sdh dijwb dan jawabanx sperti ini :
1. cot A
2. -cos A
3. -sin A
maka anda sudah maju beberapa langkah untuk menaklukkan soal trigonometri.
Selamat mencoba.....
NB : rumus bukan untk dihafal tapi untuk dipahami, sbg cntoh dri dulu-skr hanya ada angka 0-9, swaktu kecil kita hanya tau bilangan dr 1-10. sekarang, apakah anda bisa mengatakan berapa bilangan ini : 42.571 ?
bisa kan??? pdhal kita tidak menghafalkan angka sampai sebanyak itu, tapi dg memahaminya kita bs menyebutkan nilai suatu bilangan berapa pun digitnya.
Perkataan Matematikawan yg bernama ADHENT SMITH : "Matematika itu bukan untuk DITAKUTI tapi untuk DITAKLUKKAN"
balik lagi ke trigonometri
misal ada contoh seperti ini : sin (270'+A) (A maksudnya alpha dan ' adlh derajat). kalau liat rumus maka akan sama dengan (-cos A). Lho ko bisa??? ya bisa lah karena ini bisa dijelaskan lewat diagram cartesius, cukup pusing memang untuk memahaminya kalau melalui gambar diagram cartesius. trus misal ada lagi soal : sec (360-A)=??? maka dengan sangat mudah sy jwb cosec A. haha...ternyata ada sesuatu yg unik dari ke 48 rumus itu..
oke...sy mau berbagi tips gimana caranya memahami (bkn menghafal) rumus trigonometri sudut berbagai kuadran.
PERTAMA
Ingat...Dalam diagram cartesius terbagi menjadi 4 kuadran (kw). kuadran 1 terletak di kanan atas (X dan Y positif), kuadran 2 terletak di kiri atas (X negatif, Y positif), kuadran 3 terletak di kiri bwh (X dan Y negatif), kuadran 4 terletak di kanan bwh (X positif, Y negatif).
nah, nilai trigonometri di tiap kuadran itu berbeda-beda (positif atau negatifnya). di kuadran 1, semua nilai trigonometri adalah positif (+). di kuadran 2, HANYA sinus (sin) dan kebalikannya (cosecan) yang bernilai positif, yg lainnya negatif. di kw 3 HANYA tangen (tan) dan cotangen (cot) yg bernilai positif. dan di kw 4, hanya cosinus (cos) dan secan (sec) yg bernilai positif. biar gampang inget, dalam bahasa "Jerman" ada kata ASINTOS yg artinya postif. A=All positif (kw 1), SIN=SIN (kw2), T=Tan (kw 3), OS=cOS (kw 4).
KEDUA
jika ada soal seperti ini : sin (90'+A) atau tan (270'+A) (perhatikan angka 90 dan 270 nya). maka nilai trigonometrinya berubah, yang tadinya sin berubah jd cos (bgitu jg sbaliknya), yg tadinya tan menjdi cot (bgitu jg sbaliknya), dan yg tdinya cosec mnjdi sec (bgitu jg sbaliknya).
lalu, kalo ada soal seperti ini : sin (180'+A) atau tan (360'+A) (perhatikan angka 180 dan 360 nya). maka nilai trigonometrinya TETAP.
KETIGA
Tiap kuadran punya batas sudut 90'. kalo lebih sdikit saja berarti sudah masuk ke kuadran lain. misal ada soal sperti ini : cos (180'+A), maka sudutx ada di kw 3, kalo cos (180' - A) brarti sdutnya ada di kw 2.<90 br="">
KEEMPAT
kalo sudah memahami langkah 1,2,3 sy jamin apapun soalnya pasti bisa di jawab.
contoh :
nilai cos (270'+A)=.....
sy bantu...pertama, karena (270'+A) berarti ada di kw 4, sdangkan nilai cos di kw 4 adalah POSITIF (ingat ASINTOS). lalu ada angka (270'+A) artinya cos berubh jd sin. maka nilai cos (270'+A)=+sin A (cukup ditulils sin A saja).
lagi... nilai tan (360'-A)=....
jwb : itu ada di kw 4, tan di kw 4 negatif, angka (360'-A) berarti tetap tan. jd jwbannya -tan A. hahaha...mudah bukan??? mudah atau tidak tergantung dari banyaknya kita mengerjakan latihan soal.
ada 3 soal d bwh ini...
1. Cot (180'+A)=....
2. sin (270'-A)=....
3. cos (90'+A)=....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
kalau sdh dijwb dan jawabanx sperti ini :
1. cot A
2. -cos A
3. -sin A
maka anda sudah maju beberapa langkah untuk menaklukkan soal trigonometri.
Selamat mencoba.....
NB : rumus bukan untk dihafal tapi untuk dipahami, sbg cntoh dri dulu-skr hanya ada angka 0-9, swaktu kecil kita hanya tau bilangan dr 1-10. sekarang, apakah anda bisa mengatakan berapa bilangan ini : 42.571 ?
bisa kan??? pdhal kita tidak menghafalkan angka sampai sebanyak itu, tapi dg memahaminya kita bs menyebutkan nilai suatu bilangan berapa pun digitnya.
Perkataan Matematikawan yg bernama ADHENT SMITH : "Matematika itu bukan untuk DITAKUTI tapi untuk DITAKLUKKAN"
Pengelompokkan Angka-angka
Buat yang masih bingung tentang pengelompokkan angka (kecuali joe sandy), ada sedikit yg sy ketahui tentang pengelompokan angka, mudah2an bisa membantu.
Semua bilangan yang ada terbagi menjadi 2 bilangan
1. Bilangan Real (simbol 'R')
yaitu himpunan semua bilangan selain akar negatif, krn pada dasarnya akar negatif itu tak mungkin kecuali akar pangkat ganjil negatif. misal, akar dari -2, berarti kita harus mencari bilangan yg jika di kuadratkan hasilnya -2, dan itu tak mungkin krn sluruh bilangan jika di kuadratkan hasilnya pasti positif.
2. Bilangan Imaginer
yaitu termasuk bilangan negatif yg ada d dalam akar. biasanya disimbolkan dengan 'i'=akar negatif 1, jd kalau akar dari -2 = 2i, dst
bilangan imajiner tak terbagi lagi, tapi bilangan real terbagi lagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irrasional
1. Bilangan rasional
yaitu bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk pecahan, misal 5 bisa d ubah menjadi 5/1, lalu 0,5 bisa d ubah menjadi 1/2. adapun untuk bilangan akar, kalau yg bisa d akarkan itu termasuk bilangan rasional, misal akar 4, akar 9, akar 16, akar 0,16 dst. untuk bilangan desimal, kalau angka d belakang koma nya terbatas, itu termasuk bilangan rasional, misal : 0,625 = 625/1000 = 5/8. kalau pun angka2nya tidak terbatas tetapi haruslah berulang-ulang. misalnya : 3,3333.....=10/3 atau 54,5454545454......=5400/99=600/11, dsb.
2. Bilangan irrasional
kebalikan dr bil rasional yaitu bilangan yg tak bisa d ubah ke bentuk pecahan. kebanyakan contohnya adalah bilangan yg bukan bentuk akar. misalnya akar 2, akar 3, akar 5, akar 6, akar 7, dst. selain itu pendekatan nilai phi = 3,1416.... juga merupakan bil irrasional, adapun phi=22/7 hanyalah pendekatan saja.
seperti bil real, bilangan rasional terbagi menjadi beberapa bentuk bilangan, yaitu :
1. Bilangan Bulat
yaitu bilangan yang memiliki angka 0 di belakang koma. banyak contohnya.
2. Bilangan pecahan
bilangan yg dipisah dengan tanda ''/'' atau bil desimal yg tak bulat.
bilangan bulat terbagi lagi menjadi
1. bil bulat negatif
2. Nol
3. bil bulat positif
bil bulat positif sering disebut juga dengan bilangan asli
sedangkan kalau bilangan bulat positif digabung dengan nol, disebut bilangan cacah
Bilangan asli dikelompokkan lagi menjadi
1. bilangan prima
yaitu bilangan yg memiliki 2 faktor pembagian, yaitu 1 dan dirinya sendiri. anggotanya :2,3,5,7,11,13, dst.
2. bilangan komposit
yakni bilangan asli selain 1 yg bkn elemen bil prima, yaitu ,4,6,8,9,dst.
smoga bermanfaat.
Semua bilangan yang ada terbagi menjadi 2 bilangan
1. Bilangan Real (simbol 'R')
yaitu himpunan semua bilangan selain akar negatif, krn pada dasarnya akar negatif itu tak mungkin kecuali akar pangkat ganjil negatif. misal, akar dari -2, berarti kita harus mencari bilangan yg jika di kuadratkan hasilnya -2, dan itu tak mungkin krn sluruh bilangan jika di kuadratkan hasilnya pasti positif.
2. Bilangan Imaginer
yaitu termasuk bilangan negatif yg ada d dalam akar. biasanya disimbolkan dengan 'i'=akar negatif 1, jd kalau akar dari -2 = 2i, dst
bilangan imajiner tak terbagi lagi, tapi bilangan real terbagi lagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irrasional
1. Bilangan rasional
yaitu bilangan yang dapat diubah menjadi bentuk pecahan, misal 5 bisa d ubah menjadi 5/1, lalu 0,5 bisa d ubah menjadi 1/2. adapun untuk bilangan akar, kalau yg bisa d akarkan itu termasuk bilangan rasional, misal akar 4, akar 9, akar 16, akar 0,16 dst. untuk bilangan desimal, kalau angka d belakang koma nya terbatas, itu termasuk bilangan rasional, misal : 0,625 = 625/1000 = 5/8. kalau pun angka2nya tidak terbatas tetapi haruslah berulang-ulang. misalnya : 3,3333.....=10/3 atau 54,5454545454......=5400/99=600/11, dsb.
2. Bilangan irrasional
kebalikan dr bil rasional yaitu bilangan yg tak bisa d ubah ke bentuk pecahan. kebanyakan contohnya adalah bilangan yg bukan bentuk akar. misalnya akar 2, akar 3, akar 5, akar 6, akar 7, dst. selain itu pendekatan nilai phi = 3,1416.... juga merupakan bil irrasional, adapun phi=22/7 hanyalah pendekatan saja.
seperti bil real, bilangan rasional terbagi menjadi beberapa bentuk bilangan, yaitu :
1. Bilangan Bulat
yaitu bilangan yang memiliki angka 0 di belakang koma. banyak contohnya.
2. Bilangan pecahan
bilangan yg dipisah dengan tanda ''/'' atau bil desimal yg tak bulat.
bilangan bulat terbagi lagi menjadi
1. bil bulat negatif
2. Nol
3. bil bulat positif
bil bulat positif sering disebut juga dengan bilangan asli
sedangkan kalau bilangan bulat positif digabung dengan nol, disebut bilangan cacah
Bilangan asli dikelompokkan lagi menjadi
1. bilangan prima
yaitu bilangan yg memiliki 2 faktor pembagian, yaitu 1 dan dirinya sendiri. anggotanya :2,3,5,7,11,13, dst.
2. bilangan komposit
yakni bilangan asli selain 1 yg bkn elemen bil prima, yaitu ,4,6,8,9,dst.
smoga bermanfaat.
Minggu, 05 Desember 2010
Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Quantum Terhadap Pemahaman Matematik Siswa (Abstrak)
YOSI ADIPUTRA. 2010. Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Quantum Terhadap Pemahaman Matematik Siswa . (Penelitian Terhadap Siswa Kelas VIII SMP Negeri 2 Tasikmalaya Tahun Ajaran 2009/2010). Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Siliwangi Tasikmalaya.
Rendahnya pemahaman matematik kemungkinan ada kaitannya dengan pendekatan pembelajaran yang dilakukan guru. Pembelajaran dengan menggunakan metode konvensional kurang membuat siswa aktif dalam pembelajaran, siswa lebih banyak pasif dan hanya duduk di bangku. Salah satu alternatif yang dapat digunakan agar pembelajaran menjadi nyaman dan menyenangkan adalah dengan menggunakan model pembelajaran Quantum.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh penggunaan model pembelajaran Quantum terhadap pemahaman matematik siswa. Hipotesis dalam penelitian ini adalah terdapat pengaruh positif penggunaan model pembelajaran Quantum terhadap pemahaman matematik siswa.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode eksperimen. Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini berupa tes pemahaman matematik. Populasi dalam penelitian ini adalah siswa kelas VIII SMP Negeri 2 Kota Tasikmalaya. Sampel dalam penelitian diambil dua kelas secara acak menurut kelas dari seluruh populasi, yaitu kelas VIII H sebagai kelas eksperimen dengan jumlah siswa 43 orang dan kelas VIII I sebagai kelas kontrol dengan jumlah siswa 42 orang. Kelas eksperimen diberi pembelajaran dengan model pembelajaran Quantum dan kelas kontrol diberi pembelajaran dengan menggunakan model pembelajaran langsung.
Teknik analisis data menggunakan uji perbedaan dua rata-rata. Berdasarkan hasil pengolahan data diperoleh kesimpulan bahwa terdapat pengaruh positif penggunaan model pembelajaran Quantum terhadap pemahaman matematik siswa.
Sabtu, 04 Desember 2010
Empat Isteri
Suatu ketika, ada seorang pedagang kaya yang mempunyai 4 Istri. Ia mencintai istri ke-4 dan menganugerahinya harta dan kesenanngan, sebab ia yang tercantik diantara semua istrinya.
Pria ini juga mencitai istrinya yang ke-3. Ia sangat bangga dengan sang istri dan selalu berusaha untuk memperkenalkan wanita cantik ini kepada semua temannya. Namun ia juga selalu khawatir kalau istrinya ini lari dengan pria lain.
Begitu pula dengan istri ke-2. Sang pedagang sangat menyukainya karena ia istri yang sabar dan penuh pengertian. Kapan pun pedagang mendapat masalah, ia selalu minta pertimbangan istri ke-2 nya ini yang selalu menolong dan mendampingi sang suami melewati masa-masa sulit.
Sama halnya dengan istri pertama. Ia adalah pasangan yang sangat setia dan selalu membawa perbaikan bagi kehidupan keluarganya. Wanita ini yang merawat dan mengatur semua kekayaan dan bisnis sang suami. Akan tetapi, sang pedagang kurang mencintainya meski istri pertama ini begitu sayang kepadanya.
Suatu hari si pedagang sakit dan menyadari bahwa ia akan segera meninggal. Ia meresapi semua kehidupan indahnya dan berkata dalam hati, “saat ini aku punya 4 istri, namun saat aku meninggal aku akan sendiri. Betapa menyedihkan”
ISTRI KE-4 : NO WAY
Lalu pedagang itu memanggil semua istrinya dan bertanya pada istri ke-4 nya. “Engkaulah yang paling kucintai, kuberikan kau gaun dan perhiasan yang indah. Nah sekarang aku akan mati, maukah kamu mendampingi dan menemaniku?”, ia terdiam… “Tentu saja tidak!” jawab istri ke-4 dan pergi begitu saja tanpa berkata apa2 lagi. Jawaban ini sangat menyakitkan hati, seakan-akan ada pisau terhunus dan mengiris-iris hatinya.
ISTRI KE-3 : MENIKAH LAGI
Pedagang itu sedih lalu bertanya pada istri ke-3. “Aku pun mencintaimu sepenuh hati dan saat ini hidupku akan berakhir. Maukah kau ikut denganku dan menemani akhir hayatku?”. Istrinya menjawab, “Hidup begitu indah disini, aku akan menikah lagi jika kau mati”. Bagai disambar petir di siang bolong, sang pedagang terpukul dengan jawaban tersebut. Badannya terasa demam.
ISTRI KE-2 : SAMPAI LIANG KUBUR
Kemudian ia memanggil istri ke-2. “Aku selalu berpaling kepadamu setiap kali aku mendapat masalah dank au selalu membantuku sepenuh hati. Kini aku butuh sekali bantuanmu. Kalau aku mati, maukah kau mendampingiku?”. Jawab sang istri, “Maafkan aku, kali ini aku tak bias menolongmu, aku hanya bias mengantarmu hingga ke liang kubur. Nanti akan kubuatkan makam yang indah untukmu”
ISTRI KE-1 : SETIA BERSAMA SUAMI
Pedagang ini merasa putus asa. Dalam kondisi kecewa itu, tiba-tiba terdengar suara, “Aku akan setia bersamamu. Pria itu menoleh ke samping dan mendapati istri pertamanya di sana. Ia tampak begitu kurus, badannya seperti orang kelaparan. Merasa menyesal, sang pedagang lalu bergumam, “Kalau saja aku bias merawatmu lebih baik saat aku mampu, tak akan kubiarkan engkau kurus seperti ini istriku”
Tapi maaf, ini bukan sedang membahas tentang poligami, namun sesungguhnya kita punya 4 “istri” dalam hidup ini.
ISTRI KE-4 ADALAH TUBUH KITA
Coba kita ingat kembali, berapa banyak waktu dan biaya kita keluarkan untuk tubuh kita supaya ampak indah dan gagah. Semua ini akan hilang dalam suatu batas waktu dan ruang. Tak ada keindahan dan kegagahan yang tersisa saat kita menghadap kepada-Nya, semuanya pergi begitu saja.
ISTRI KE-3, STATUS SOSIAL DAN KEKAYAAN
Saat kita meninggal, semuanya akan pergi kepada yang lain. Mereka akan berpindah dan melupakan kita yang memilikinya. Saat kita hidup kita punya jabatan sbg direktur, tapi setelah mati, maka jabatan itu akan diambil alih oleh orang lain, begitu pula dengan harta kekayaan, akan diperebutkan oleh ahli waris kita. Semua itu akan berpindah tangan dalam waktu sekejap ketika kita tiada
ISTRI KE-2 YAKNI KERABAT DAN TEMAN
Seberapa pun dekatnya hubungan kita dengan mereka, kita tidak akan bisa terus bersama mereka. Hanya sampai liang kuburlah mereka menemani kita
Dan sesungguhnya istri pertama kita adalah JIWA DAN AMAL KITA.
Sebenarnya hanya jiwa dan amal kita sajalah yang mampu untuk terus setia mendampingi kemana pun kita melangkah. Hanya amal lah yang mampu menolong kita di akhirat kelak.
Jadi, selagi mampu, perlakukanlah jiwa kita dengan bijak serta jangan pernah malu untuk berbuat amal, memberikan pertolongan kepada sesame yang membutuhkan. Betapa pun kecilnya bantuan kita, pemberian kita menjadi sangat berarti bagi mereka yang memerlukannua.
Mari kita belajar memperlakukan jiwa dan amal kita dengan bijak.
Kamis, 18 Februari 2010
Langganan:
Postingan (Atom)